Thursday, December 16, 2010
Monday, December 13, 2010
Clase de Esta Semana
Le pedí al maestro Mendieta que continuara con el seminario de Física mientras estoy en Chicago. Ya empezamos el estudio del campo eléctrico, espero que encuentre algo interesante que discutir con ustedes.
Aprovecho la oportunidad para compartir con ustedes un artículo de Guillermo A. Lemarchand de la República Argentina sobre la manera, y esperanza, de comunicarse con especies tecnológicamente avanzadas.
Aprovecho la oportunidad para compartir con ustedes un artículo de Guillermo A. Lemarchand de la República Argentina sobre la manera, y esperanza, de comunicarse con especies tecnológicamente avanzadas.
Saturday, December 4, 2010
Electrostática
Al igual que la plática del mapeo de corrimiento que nunca había dado a este nivel, lo de hoy nunca lo he dado. Aunque ahora a ningún nivel.
Aguántenme.
Como dije la semana pasada, el teorema fundamental de diferencias finitas, en su mínima expresión se reduce a que la suma y la resta son operaciones inversas, que por éso se cancelan.
$\int d x = x$
En ocasiones se dice que $\int dx$ es la antiderivada de $1$.
Dibujé una línea, para expresar que conjuntos de dimensión $1$ tienen fronteras (puntos) de dimensión $0$.
De esa observación se puede, por inducción, decir que las fronteras de regiones de dimensión $2$, por ejemplo regiones en el plano, son de dimensión $1$, es decir líneas cerradas, a veces llamadas bucles, o rizos. Ya con éso no cuesta pensar que las fronteras de regiones de dimensión $3$, son superficies cerradas de dimensión $2$.
Esas generalizaciones pueden seguir a más dimensiones. Supongo que el teorema que demostró hace poco Grisha Perelman, es importante aquí. Completó creo, las siguientes generalizaciones. Toda superficie de una dimensión $n - 1$, contiene una ``esfera'' de dimensión $n$. Esta aseveración se conoce como la conjetura de Poincaré, y ahora creo, como el Teorema de Hamilton-Perelman.
Antes de entrar al tema de la Electrostática, escribiré lo que les dije hace una semana.
En septiembre murió Jerry Marsden, que estaba trabajando en Los Ángeles en la llamada Geometría Discreta. Antes de entrar en materia expreso por escrito lo dicho antes sobre variables de fondo, y variables de campo.
Para que lo busquen, lo siguiente se llama invariancia ante reparametrización en la Geometría Diferencial. La rama de la física donde esta idea se usó es la llamada Relatividad General de Alberto Einstein en 1915.
Uno de los problemas que Einstein expuso es que el espacio y el tiempo son ambos relativos, no hay nada de especial entre el origen del espacio tiempo y cualquier otro punto de él. Lo que tiene sentido físico es la diferencia, el desplazamiento en el espacio-tiempo. Al igual que Isac Newton antes que él, Einstein tuvo que pensar profundamente sobre el tiempo, Newton dijo que el tiempo fluye como un río, absolutamente, independientemente de todo. Einstein lo corrigió, enseñó que el tiempo es relativo, cada quien tiene su propio tiempo. No hay nada especial en mi tiempo, una señal luminosa tiene su propio tiempo. Einstein escribió la fórmula que las compara. Aproximadamente;
$t \prime = \frac{t - x}{\sqrt{1 - v^2}}$
Cuando el espacio está más curvo hay otras correcciones que no me sé.
Lo que enfatizo aquí es la invariancia ante cambios de coordenadas de espacio-tiempo. Las ecuaciones de la gravitación en particular, y de todas las fuerzas de la naturaleza en general, deben ser invariantes ante cambios generales de coordenadas.
Los matemáticos, independientemente de Einstein, en particular Klein, pensaron que una definición de geometría es que se aplican transformaciones que dejan algo invariante. Por ejemplo, en la Geometría Análitica de René Descartes, la ecuación de un círculo con centro en el origen es invariante ante rotaciones. Por ejemplo la solución del oscilador armónico, que acabamos de resolver, es un círculo en el espacio fase. Podemos hacer combinaciones lineales de la velocidad y la posición, que pueden igualmente servir para representar al círculo.
Marsden estaba usando una versión de la Geometría Diferencial, que no depende de las funciones que uno use para representar el marco de referencia. Sólo depende de las diferenciales, en la llamada Teoría de Formas Diferenciales.
Finalmente la Teoría de Formas Discretas, es de lo que yo quiero platicar hoy aquí.
Electrostática en una Dimensión
En tres dimensiones Carlos Federico Gauss demostró hace ya más de cien años, que el flujo por una superficie de dos dimensiones que encierra una región de tres dimensiones, depende de cuántos puntos internos son fuentes o sumideros de flujo. Si no hay tales puntos, entonces el flujo que sale es el mismo que entró, tenemos la llamada conservación de flujo.
Miguel Faraday se imaginó estos flujos, pero no sabía la matemática de Gauss. Jaime Clerk Maxwell si conocía esta matemática, por lo que se conoce ésto como ecuaciones de Maxwell.
Estas ecuaciones describen la conservación de carga. Las cargas son las fuentes y sumideros del llamado Flujo Eléctrico. Son fuentes para las positivas, y sumideros para las negativas.
Pasemos a una dimensión.
La carga, o fuente del flujo eléctrico, es un punto. El flujo, $E\cdot \Delta S$, depende del campo $E$. A su vez el campo depende del potencial $V$, este último depende de la carga.
La razón de cambio en el espacio, o divergencia, de la intensidad de campo $E$, $\frac{\Delta E}{\Delta x}$ es igual a la densidad de carga. Esta carga es un punto en el intervalo del espacio $x$, considerado. Las fronteras del intervalo son dos puntos, digamos en $-a$, y $a$, $a$ centímetros a la izquierda y a la derecha del punto fuente del flujo.
Finalmente el potencial $V$, está relacionado a $E$ así.
$E = - \frac{\Delta V}{\Delta x}$
Ahora expreso todo ésto con diferencias finitas.
Formas Discretas
Sólo haré el caso del campo eléctrico. También se puede hacer el magnético; lo haré en otra ocasión.
Para representar una carga puntual uso la llamada Delta de Kronecker.
No haré dibujos aquí porque estoy en The Power Station, en Emiliano Zapata 10-A.
$\delta _{k,0}$, vale $0$, en todos lados, menos en $x = 0$, donde vale $1$.
La fuente del flujo es igual al Flujo Eléctrico. El flujo es el número de líneas de flujo que pasan por unidad de área. Se calcula multiplicando la componente de la intensidad de fluido, por el área, como escribí arriba. La ecuación es:
$(-E_{-\epsilon})\cdot (-1) + E_{\epsilon}\cdot (1) =\frac{ \delta_{x,0}}{\epsilon}2\epsilon $
$\epsilon$ es una pequeña cantidad en centímetros. El flujo a la derecha se calcula con $E_{\epsilon}>0$, y un vector unitario a la derecha. Para el lado izquierdo, ambos, el vector de intensidad eléctrica, y el vector unitario apuntan a la izquierda, i.e., son negativos.
Del lado derecho de la ecuación, el volumen es el tamaño de la línea, o sea $2\epsilon$, por la densidad de carga por unidad de volumen (aquí son unidades electrostáticas por centímetro).
El resultado final es:
$E_x = \left\{ \begin{array}{rl} -1 & \mbox{ si x es menor que 0} \\ 1 & \mbox{ si x es mayor que 0} \end{array} \right.$
En diferencias finitas:
$E_{n+1} = E_n + \delta_{n,0}$ $n \in \mathbb Z$
Aguántenme.
Como dije la semana pasada, el teorema fundamental de diferencias finitas, en su mínima expresión se reduce a que la suma y la resta son operaciones inversas, que por éso se cancelan.
$\int d x = x$
En ocasiones se dice que $\int dx$ es la antiderivada de $1$.
Dibujé una línea, para expresar que conjuntos de dimensión $1$ tienen fronteras (puntos) de dimensión $0$.
De esa observación se puede, por inducción, decir que las fronteras de regiones de dimensión $2$, por ejemplo regiones en el plano, son de dimensión $1$, es decir líneas cerradas, a veces llamadas bucles, o rizos. Ya con éso no cuesta pensar que las fronteras de regiones de dimensión $3$, son superficies cerradas de dimensión $2$.
Esas generalizaciones pueden seguir a más dimensiones. Supongo que el teorema que demostró hace poco Grisha Perelman, es importante aquí. Completó creo, las siguientes generalizaciones. Toda superficie de una dimensión $n - 1$, contiene una ``esfera'' de dimensión $n$. Esta aseveración se conoce como la conjetura de Poincaré, y ahora creo, como el Teorema de Hamilton-Perelman.
Antes de entrar al tema de la Electrostática, escribiré lo que les dije hace una semana.
En septiembre murió Jerry Marsden, que estaba trabajando en Los Ángeles en la llamada Geometría Discreta. Antes de entrar en materia expreso por escrito lo dicho antes sobre variables de fondo, y variables de campo.
Para que lo busquen, lo siguiente se llama invariancia ante reparametrización en la Geometría Diferencial. La rama de la física donde esta idea se usó es la llamada Relatividad General de Alberto Einstein en 1915.
Uno de los problemas que Einstein expuso es que el espacio y el tiempo son ambos relativos, no hay nada de especial entre el origen del espacio tiempo y cualquier otro punto de él. Lo que tiene sentido físico es la diferencia, el desplazamiento en el espacio-tiempo. Al igual que Isac Newton antes que él, Einstein tuvo que pensar profundamente sobre el tiempo, Newton dijo que el tiempo fluye como un río, absolutamente, independientemente de todo. Einstein lo corrigió, enseñó que el tiempo es relativo, cada quien tiene su propio tiempo. No hay nada especial en mi tiempo, una señal luminosa tiene su propio tiempo. Einstein escribió la fórmula que las compara. Aproximadamente;
$t \prime = \frac{t - x}{\sqrt{1 - v^2}}$
Cuando el espacio está más curvo hay otras correcciones que no me sé.
Lo que enfatizo aquí es la invariancia ante cambios de coordenadas de espacio-tiempo. Las ecuaciones de la gravitación en particular, y de todas las fuerzas de la naturaleza en general, deben ser invariantes ante cambios generales de coordenadas.
Los matemáticos, independientemente de Einstein, en particular Klein, pensaron que una definición de geometría es que se aplican transformaciones que dejan algo invariante. Por ejemplo, en la Geometría Análitica de René Descartes, la ecuación de un círculo con centro en el origen es invariante ante rotaciones. Por ejemplo la solución del oscilador armónico, que acabamos de resolver, es un círculo en el espacio fase. Podemos hacer combinaciones lineales de la velocidad y la posición, que pueden igualmente servir para representar al círculo.
Marsden estaba usando una versión de la Geometría Diferencial, que no depende de las funciones que uno use para representar el marco de referencia. Sólo depende de las diferenciales, en la llamada Teoría de Formas Diferenciales.
Finalmente la Teoría de Formas Discretas, es de lo que yo quiero platicar hoy aquí.
Electrostática en una Dimensión
En tres dimensiones Carlos Federico Gauss demostró hace ya más de cien años, que el flujo por una superficie de dos dimensiones que encierra una región de tres dimensiones, depende de cuántos puntos internos son fuentes o sumideros de flujo. Si no hay tales puntos, entonces el flujo que sale es el mismo que entró, tenemos la llamada conservación de flujo.
Miguel Faraday se imaginó estos flujos, pero no sabía la matemática de Gauss. Jaime Clerk Maxwell si conocía esta matemática, por lo que se conoce ésto como ecuaciones de Maxwell.
Estas ecuaciones describen la conservación de carga. Las cargas son las fuentes y sumideros del llamado Flujo Eléctrico. Son fuentes para las positivas, y sumideros para las negativas.
Pasemos a una dimensión.
La carga, o fuente del flujo eléctrico, es un punto. El flujo, $E\cdot \Delta S$, depende del campo $E$. A su vez el campo depende del potencial $V$, este último depende de la carga.
La razón de cambio en el espacio, o divergencia, de la intensidad de campo $E$, $\frac{\Delta E}{\Delta x}$ es igual a la densidad de carga. Esta carga es un punto en el intervalo del espacio $x$, considerado. Las fronteras del intervalo son dos puntos, digamos en $-a$, y $a$, $a$ centímetros a la izquierda y a la derecha del punto fuente del flujo.
Finalmente el potencial $V$, está relacionado a $E$ así.
$E = - \frac{\Delta V}{\Delta x}$
Ahora expreso todo ésto con diferencias finitas.
Formas Discretas
Sólo haré el caso del campo eléctrico. También se puede hacer el magnético; lo haré en otra ocasión.
Para representar una carga puntual uso la llamada Delta de Kronecker.
No haré dibujos aquí porque estoy en The Power Station, en Emiliano Zapata 10-A.
$\delta _{k,0}$, vale $0$, en todos lados, menos en $x = 0$, donde vale $1$.
La fuente del flujo es igual al Flujo Eléctrico. El flujo es el número de líneas de flujo que pasan por unidad de área. Se calcula multiplicando la componente de la intensidad de fluido, por el área, como escribí arriba. La ecuación es:
$(-E_{-\epsilon})\cdot (-1) + E_{\epsilon}\cdot (1) =\frac{ \delta_{x,0}}{\epsilon}2\epsilon $
$\epsilon$ es una pequeña cantidad en centímetros. El flujo a la derecha se calcula con $E_{\epsilon}>0$, y un vector unitario a la derecha. Para el lado izquierdo, ambos, el vector de intensidad eléctrica, y el vector unitario apuntan a la izquierda, i.e., son negativos.
Del lado derecho de la ecuación, el volumen es el tamaño de la línea, o sea $2\epsilon$, por la densidad de carga por unidad de volumen (aquí son unidades electrostáticas por centímetro).
El resultado final es:
$E_x = \left\{ \begin{array}{rl} -1 & \mbox{ si x es menor que 0} \\ 1 & \mbox{ si x es mayor que 0} \end{array} \right.$
En diferencias finitas:
$E_{n+1} = E_n + \delta_{n,0}$ $n \in \mathbb Z$
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